A műszaki főiskolák 1997. évi Hajós György
matematika versenyének feladatai

1.	Az x1, x2, x3, … x1997, sorozat tagjai az 1, 2, 3, …, 1997 számok egy prmutációját alkotják. Igaz-e, hogy ekkor az
(x1+1).(x2+2).(x3+3) .... . (x1997+1997)
Szorzat mindig osztható 3-mal?

2.	Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet:

({y}=y‑[y], ahol [y] az y szám egész részét jelenti.)

3.	Egy egységnyi oldalhosszúságú négyzet tetszőleges P belső pontján át az oldalakkal párhuzamosan húzott egyenesek a négyzetet négy téglalapra osztják.
a) Bizonyítsa be, hogy bármelyik két, átlósan elhelyezkedő (tehát csak egy közös csúccsal rendelkező) téglalapot véve, nem fordulhat elő, hogy mindkettő területe nagyobb 1/4-nél!
b) Általánosítsa a fenti állítást négyzet helyett más sík- és térbeli alakzatokra.

4.	Határozza meg az összes olyan polinomot, amelynek a 2x helyen vett helyettesítési értéke minden x-re megegyezik az első és második deriváltja x helyen vett helyettesítési értékékeinek szorzatával!

5.	Az ABCD tetraéder AB élének egy pontján keresztül a tetraéder ACD, illetve BCD oldallapjával párhuzamos síkokat vettünk fel. Az így keletkezett két kis tetraéder térfogata 8 illetve 1 cm3. Mekkora az ABCD tetraéder térfogata?